Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни
- Автор: Сергей Самойленко
- Жанр: Научно-популярная литература
- Дата выхода: 2022
- Цикл: Наука для всех
Читать книгу "Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни" полностью
Стратегия балбеса
Для анализа суеты нам опять потребуются случайные процессы. Один из самых простых из них, требующих минимума дополнительных предположений, —
Но что мы получим, если события перестанут быть независимыми и начнут образовывать упорядоченную цепочку? Скажем, пусть в цепочке событий {
Первое событие мы расположим в произвольной точке, второе — тоже случайно, но обязательно после первого, третье — после второго и т. д. Для каждого следующего этапа будет оставаться все меньше времени, так что к правой части интервала (перед дедлайном) должно наблюдаться заметное увеличение интенсивности процесса. Рано или поздно время для выполнения задач закончится, и цепочка завершится. Назовем построенный нами процесс
Рис. 8.1. Пример стохастической цепочки с дедлайном. В данном случае пять дел выполнить удалось, можно успеть шестое, а на семь времени уже не хватит
Понятно, что, выполняя задачи в соответствии с мерфологической аксиомой Дехэя: «Простую работу можно отложить, потому что всегда будет время ее сделать потом», — непросто уложиться в сроки. Но можно ли как-то проанализировать это явление? Сформулируем задачу, взяв в качестве испытуемого, скажем, театрального режиссера. Пусть в распоряжении режиссера и его труппы имеется
Для начала я обратился к имитационному моделированию, чтобы выяснить, как распределяется длина цепочек, которые удается выполнить в ограниченный промежуток времени заданной длины, пользуясь стратегией балбеса.
Вычисления состояли в генерации стохастических цепочек и подсчете их длин для различных ограничений по времени по следующему алгоритму.
Вход: число дней n
Повторять, пока не набрано нужное число цепочек
· · · · x:= n
· · · · k:= 0
· · · · Повторять, пока x>0
· · · · · · · · выбрать случайное целое число x ~ Uniform([0,x])
· · · · · · · · увеличить счетчик k
· · · · конец
· · · · добавить k в гистограмму
конец
Вот какая гистограмма получается, например, для
Рис. 8.2. Гистограмма функции вероятности для длины цепочек, которые удается выполнить в отведенный срок. Синей линией показано распределение Пуассона с интенсивностью, соответствующей наблюдаемой средней длине цепочек
Подсчитывая события в настоящем пуассоновском потоке с интенсивностью
которое, напомню, описывает вероятность получить ровно
Отвлечемся от дел и сроков и формально опишем исследуемый процесс. Рассмотрим ряд из
Мы будем рассуждать, рассматривая размещение точек «с конца», в обратном порядке. Любая цепочка завершается размещением последней точки в последней ячейке. Шансов не разместить какую-то одну точку нет, поскольку по условиям для первой точки все ячейки свободны. Короткие цепочки из двух точек устроены так: в последней ячейке располагается вторая, последняя точка (с вероятностью 1/
Такое определение функции называется
Здесь символ
но они используются уже с середины XVIII века, и достаточно широко, чтобы можно было счесть их «хорошо известными». А главное, известны свойства этих чисел, позволяющие анализировать полученное решение. Благодаря этому удалось вывести точные выражения для математического ожидания длины цепочек и ее дисперсии; собственно, ради вычисления этих значений я и исследовал получившееся распределение:
Эти величины выражаются через очень интересные
Казалось бы, что может быть проще, чем изучение чисел, тем более целых? Арифметику проходят в школе; со свойствами чисел, такими как делимость, мы знакомимся на личном опыте, пытаясь честно разделить пять рублей на троих. Но именно эта область математики ставит перед исследователем чрезвычайно сложные проблемы. Одна великая теорема Ферм
На наш вопрос: «Какова вероятность не уложиться в
Рис. 8.3. Вероятность не успеть выполнить цепочки различной длины в тот или иной срок
Эти графики показывают, что вероятность не уложиться в месяц с заданием, состоящим из пяти шагов, превышает 80 %. Неорганизованному балбесу на неделю лучше не планировать более трех дел, а десяток он не выполнит с вероятностью, превышающей 50 %, и за всю жизнь! Мы убеждаемся в том, что при увеличении сроков на несколько порядков число дел, выполняемых как попало, увеличивается незначительно. Жизнь так коротка!