Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни
- Автор: Сергей Самойленко
- Жанр: Научно-популярная литература
- Дата выхода: 2022
- Цикл: Наука для всех
Читать книгу "Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни" полностью
Где заканчивается свобода в математике?
Здесь стоит ненадолго остановиться. Мы уже достаточно подкованы в математике, чтобы не просто с умным видом поиздеваться над ошибкой журналистов и доверчивостью чиновников, а разобраться в том, что именно произошло. Речь в статье шла о долях, при этом использовались суммы величин, которые могут быть и отрицательными. Что же здесь не так? Ведь долю, то есть рациональное число, можно вычислить от величины любого знака. Здесь нам опять пригодится понятие меры.
Доли, или удельный вклад, имеет смысл вычислять от величины, относящейся к
Приведу два примера, из которых станет ясно, что аксиомы не придумываются. В главе 1, рассматривая петли на наушниках, мы указали, что они образуют группу с операцией сложения, соответствующей нанизыванию их на одну веревку. Для любой группы должны выполняться четыре аксиомы: замкнутость операции группового сложения, ее ассоциативность, наличие единственного нуля (нейтрального элемента), наконец, наличие обратного элемента. А почему мы ничего не говорим о коммутативности сложения (о том, что
Дело в том, что коммутативность не вытекает из четырех аксиом группы. Легко найти некоммутативную группу, классическим примером будут движения на плоскости. Если рассмотреть два движения: поворот относительно некой опорной точки и смещение вдоль какого-то вектора, — то результат будет зависеть от порядка этих движений. Убедиться в этом легко, перемещая лист бумаги по поверхности стола. Почему же сложение с нулем должно быть коммутативно? Это требование ассоциативности, а именно выполнения равенства: (
Приведу еще один пример, который, возможно, примирит кого-то с диктатурой в математике. Помните школьное правило: «на ноль делить нельзя»? А почему, кто это запретил? Кроме того, теперь мы достаточно грамотны, чтобы уточнить вопрос: что такое «ноль», на который нельзя делить? Тот ли, который оказывается нейтральным элементом при сложении, или речь о каком-то ином объекте? Сразу скажу: да, тот самый, поскольку он, по определению группы, единственный[19]. Более или менее искушенный в математике читатель скажет, что в пределах алгебраической структуры, которая называется
Но можно ведь искусственно дополнить множество чисел специальными элементами — делителями нуля. Дополнили же когда-то множество
Дело в том, что и рациональные, и вещественные, и комплексные числа построены так, что все они образуют поля, при этом вся арифметика в них согласована. Но если искусственно ввести нетривиальные делители нуля, то получится иная арифметика, своеобразная и не согласующаяся с привычной нам со школы алгеброй полей. Алгебраическая структура, на которой определены сложение и умножение, а также своеобразное деление для всех элементов, включая ноль, называется
Непротиворечивая система аксиом колеса кроме коммутативности, ассоциативности сложения с умножением содержит следующие правила:
Из этих аксиом неизбежно следует, что в общем случае:
Увы, групповые свойства сложения в такой системе нарушаются, поскольку не для всех элементов
Так что «просто добавить» делители нуля и обратный ему элемент не получится, нужно перестраивать всю систему ради ее непротиворечивости. Подобные трудности возникнут и при попытке искусственно ввести вторую мнимую единицу: согласованную алгебру с двумя единицами создать не получится, а вот с тремя все работает. Так строится
Вернемся к мере. Ее неотрицательность необходима, иначе можно нарушить третье из свойств мер, перечисленных выше: «Мера подмножества не превышает меры множества» (вклад штата Калифорния превысил общий рост по всей стране). Кроме того, при этом теряется польза от аддитивности и становится затруднительно вычислить меру для объединения подмножеств; таким образом, само это понятие теряет свою полезность. Число рабочих мест — полноценная мера (как количественная характеристика конечного множества), а вот рост числа рабочих мест — нет, это уже
Может возникнуть вопрос: а каков же на самом деле был вклад правительства штата Висконсин в борьбу с безработицей? Он имеет смысл, поскольку если бы не было этого вклада, то общий результат по стране был бы заметно меньшим. Корректно ответить несложно. Мы можем рассматривать как меру отдельно положительные и отрицательные вклады и таким образом говорить о том, что Висконсин предоставил 27 % от общего числа новых рабочих мест (результат простого суммирования всех новых работников по стране). В свою очередь, из всех новых безработных 23 % пришлось на жителей штата Миссури.